99の倍数判定法(99で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の10倍と十の位以上の数との差が99の倍数であれば、その数は99で割り切れる。

 

なぜ99で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 10×m=100×a+10×b=99×a+(a+10×b)
aは整数なので、99×aは99の倍数。
11×mが99の倍数であるためには(a+10×b)が99の倍数であればよい。
10と99は互いに素であるから10×mが99の倍数であればmも99の倍数となる。
つまり、一の位の数の10倍と十の位以上の数の和が99の倍数となる整数は99で割り切れる。

 

99で割り切れる数の一例①

40095の場合、
一の位の数の10倍が5×10=50、十の位以上の数が4009で、その和は4059。
4059は一の位の数の10倍が9×10=90、十の位以上の数が405で、その和は495。
一の位の数の10倍と十の位以上の数の和495が99の倍数なので4059は99で割り切れる。
よって、40095は99で割り切れる。

 

99の倍数判定法(99で割り切れる数の見分け方)②

一の位から順に2桁ずつに区切ったときの数の和が99の倍数であれば、その数は99で割り切れる。

 

なぜ99で割り切れるのか?②

十万の位~一万の位の二桁がa、千の位~百の位の二桁がb、十の位~一の位の二桁がcの整数mについて、
 m=10000×a+100×b+c
  =9999×a+99×b+(a+b+c)
  =99×(101×a+b)+(a+b+c)
(101×a+b)は整数なので、99×(101×a+b)は99の倍数。
mが99の倍数であるためには(a+b+c)が99の倍数であればよい。
つまり、一の位から順に2桁ずつに区切ったときの数の和が99の倍数となる整数は99で割り切れる。

 

99で割り切れる数の一例②

430818795の場合、
一の位から2桁ずつ区切ると、95、87、81、30、4に分けられる。
3つの数の和は、4+30+81+87+95=297
297は、一の位から順に2桁ずつに区切ったときの数の和が97+2=99で99の倍数なので99で割り切れる。
よって、一の位から順に2桁ずつに区切ったときの数の和297が99の倍数なので、430818795は99で割り切れる。

 

 

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