7の倍数判定法(7で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の2倍と十の位以上の数の差が7の倍数であれば、その数は7で割り切れる。

 

なぜ7で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 2×m=20×a+2×b=21×a+(2×b-a)=7×(3×a)+(2×b-a)
3×aは整数なので、7×(3×a)は7の倍数。
2×mが7の倍数であるためには(2×b-a)が7の倍数であればよい。
2と7は互いに素であるから2×mが7の倍数であればmも7の倍数となる。
つまり、一の位の数の2倍と十の位以上の数の差が7の倍数となる整数は7で割り切れる。

 

7で割り切れる数の一例①

791の場合、
一の位の数の2倍が2で十の位以上の数が79で、その差は77。
一の位の数の2倍と十の位以上の数の差が7の倍数なので7で割り切れる。

 

7の倍数判定法(7で割り切れる数の見分け方)②

百の位以上の数の2倍と下二桁の数との差が7の倍数であれば、その数は7で割り切れる。

 

なぜ7で割り切れるのか?②

百の位以上の数がa、下二桁の数がbの整数mについて、
 m=100×a+b=(102-2)×a+b=7×(16×a)+(2×a-b)
16×aは整数なので、7×(16×a)は7の倍数。
mが7の倍数であるためには(2×a-b)が7の倍数であればよい。
つまり、百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差が7の倍数となる整数は7で割り切れる。

 

7で割り切れる数の一例②

4012の場合、
百の位以上の数の2倍が40×2=80で下二桁の数が12で、その差は68。
一の位の数の2倍と十の位以上の数の差が7の倍数なので7で割り切れる。

 

7の倍数判定法(7で割り切れる数の見分け方)③

一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が7の倍数であれば、その数は7で割り切れる。

 

なぜ7で割り切れるのか?③

十万の位がa、一万の位がb、一千の位がc、百の位がd、十の位がe、一の位がfの整数mについて、
 m=1000×(100×a+10×b+c)+(100×d+10×e+f)
  =1001×(100×a+10×b+c)
   +{(100×d+10×e+f)-(100×a+10×b+c)}
  =7×{143×(100×a+10×b+c)}
   +{(100×d+10×e+f)-(100×a+10×b+c)}
143×(100×a+10×b+c)は整数なので、7×{143×(100×a+10×b+c)}は7の倍数。
mが7の倍数であるためには{(100×d+10×e+f)-(100×a+10×b+c)}が7の倍数であればよい。
つまり、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が7の倍数となる整数は7で割り切れる。

 

7で割り切れる数の一例③

521604321の場合、
一の位から3桁ずつ区切ると、321、604、521に分けられる。
奇数番目の数の和は、521+321=842
よって、奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差は、842-604=238。
奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差238が7の倍数なので、521604321は7で割り切れる。

 

 

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