27の倍数判定法(27で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の8倍と十の位以上の数との差が27の倍数であれば、その数は27で割り切れる。

 

なぜ27で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 8×m=80×a+8×b
    =81×a+(8×b-a)
    =27×(3×a)+(8×b-a)
(3×a)は整数なので、27×(3×a)は27の倍数。
8×mが27の倍数であるためには(4×b-a)が27の倍数であればよい。
8と27は互いに素であるから8×mが27の倍数であればmも27の倍数となる。
つまり、一の位の数の8倍と十の位以上の数の差が27の倍数となる整数は27で割り切れる。

 

27で割り切れる数の一例①

7182の場合、
一の位の数の8倍が2×8=16、十の位以上の数が718で、その差は702。
702は一の位の数の8倍が2×8=16、十の位以上の数が70で、その差は54。
一の位の数の8倍と十の位以上の数の差54が27の倍数なので702は27で割り切れる。
よって、7182は27で割り切れる。

 

27の倍数判定法(27で割り切れる数の見分け方)②

一の位から順に3桁ずつに区切ったときの数の和が27の倍数であれば、その数は27で割り切れる。

 

なぜ27で割り切れるのか?②

一億の位~百万の位の三桁がa、十万の位~千の位の三桁がb、百の位~一の位の三桁がcの整数mについて、
 m=1000000×a+1000×b+c
  =999999×a+999×b+(a+b+c)
  =27×(37037×a+37×b)+(a+b+c)
(37037×a+37×b)は整数なので、27×(37037×a+37×b)は27の倍数。
mが27の倍数であるためには(a+b+c)が27の倍数であればよい。
つまり、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの数の和が27の倍数となる整数は27で割り切れる。

 

27で割り切れる数の一例②

848147409の場合、
一の位から3桁ずつ区切ると、409、147、848に分けられる。
3つの数の和は、848+147+409=1404
1404は、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの数の和が404+1=405で27の倍数なので27で割り切れる。
よって、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの数の和1404が27の倍数なので848147409は27で割り切れる。

 

 

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