19の倍数判定法(19で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の2倍と十の位以上の数との和が19の倍数であれば、その数は19で割り切れる。

 

なぜ19で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 2×m=20×a+2×b=19×a+(a+2×b)
aは整数なので、19×aは19の倍数。
2×mが19の倍数であるためには(a+2×b)が19の倍数であればよい。
2と19は互いに素であるから2×mが19の倍数であればmも19の倍数となる。
つまり、一の位の数の2倍と十の位以上の数の和が19の倍数となる整数は19で割り切れる。

 

19で割り切れる数の一例①

5567の場合、
一の位の数の2倍が7×2=14、十の位以上の数が556で、その和は570。
570は一の位の数の2倍が0×2=0、十の位以上の数が57で、その和は57。
一の位の数の2倍と十の位以上の数の和57が19の倍数なので570は19で割り切れる。
よって、5567は19で割り切れる。

 

19の倍数判定法(19で割り切れる数の見分け方)②

各位の数に上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が19の倍数であれば、その数は19で割り切れる。

 

なぜ19で割り切れるのか?②

千の位の数がa、百の位の数がb、十の位の数がc、一の位の数がdの整数mについて、
 m=1000×a+100×b+10×c+d
 23×m=23×103×a+23×102×b+23×10×c+23×d
     =203×a+202×2×b+20×22×c+23×d
     =(19+1)3×a+(19+1)2×2×b+(19+1)×22×c+23×d
     =19×{(192+3×19+3)×a+(19+2)×2×b+22×c}
      +{a+2×b+22×c+23×d}
{(192+3×19+3)×a+(19+2)×2×b+22×c}は整数なので19×{(192+3×19+3)×a+(19+2)×2×b+22×c}は19の倍数。
23×mが19の倍数であるためには{a+2×b+22×c+23×d}が19の倍数であればよい。
2と19は互いに素であるから23×mが19の倍数であればmも19の倍数となる。
つまり、各位の数に上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が19の倍数となる整数は19で割り切れる。

 

19で割り切れる数の一例②

214805222の場合、
上の位から順に2のべき乗をかけた数の和は、
2+2×1+22×4+23×8+24×0+25×5+26×2+27×2+28×2=1140
1140は、上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が
1+2×1+22×4+23×0=19なので19の倍数。
よって、上の位から順に2のべき乗をかけた数の和1140が19の倍数なので、
214805222は19で割り切れる。

 

 

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