13の倍数判定法(13で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の4倍と十の位以上の数との和が13の倍数であれば、その数は13で割り切れる。

 

なぜ13で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 4×m=40×a+4×b=39×a+(a+4×b)=13×(3×a)+(a+4×b)
(3×a)は整数なので、13×(3×a)は13の倍数。
4×mが13の倍数であるためには(a+4×b)が13の倍数であればよい。
4と13は互いに素であるから4×mが13の倍数であればmも13の倍数となる。
つまり、一の位の数の4倍と十の位以上の数の和が13の倍数となる整数は13で割り切れる。

 

13で割り切れる数の一例①

9152の場合、
一の位の数の4倍が2×4=8、十の位以上の数が915で、その和は923。
923は一の位の数の4倍が3×4=12、十の位以上の数が92で、その和は104。
一の位の数の4倍と十の位以上の数の和104が13の倍数なので923は13で割り切れる。
よって、9152は13で割り切れる。

 

13の倍数判定法(13で割り切れる数の見分け方)②

下二桁の数の3倍と百の位以上の数の和が13の倍数であれば、その数は13で割り切れる。

 

なぜ13で割り切れるのか?②

百の位以上の数がa、下二桁の数がbの整数mについて、
 m=100×a+b
 3×m=300×a+3×b=299×a+(a+3×b)=13×(23×a)+(a+3×b)
(23×a)は整数なので、13×(23×a)は13の倍数。
3×mが13の倍数であるためには(a+3×b)が13の倍数であればよい。
3と13は互いに素であるから3×mが13の倍数であればmも13の倍数となる。
つまり、下二桁の数の3倍と百の位以上の数の和が13の倍数となる整数は13で割り切れる。

 

13で割り切れる数の一例②

70402の場合、
下二桁の数の3倍が2×3=6、百の位以上の数が7040で、その和は7046。
7046は下二桁の数の3倍が46×3=138で百の位以上の数が70で、その和は208。
下二桁の数の3倍と百の位以上の数の差208が13の倍数なので7046は13で割り切れる。
よって、70402は13で割り切れる。

 

13の倍数判定法(13で割り切れる数の見分け方)③

一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が13の倍数であれば、その数は13で割り切れる。

 

なぜ13で割り切れるのか?③

一億の位~百万の位の三桁がa、十万の位~千の位の三桁がb、百の位~一の位の三桁がcの整数mについて、
 m=1000000×a+1000×b+c
  =999999×a+1001×b+(a-b+c)
  =13×(76923×a+77×b)+{(a+c)-b}
(76923×a+77×b)は整数なので、13×(76923×a+77×b)は13の倍数。
mが13の倍数であるためには{(a+c)-b}が13の倍数であればよい。
つまり、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が13の倍数となる整数は13で割り切れる。

 

13で割り切れる数の一例③

574854722の場合、
一の位から3桁ずつ区切ると、722、854、574に分けられる。
奇数番目の数の和は、574+722=1296
よって、奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差は、1296-854=442。
奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差442が13の倍数なので、574854722は13で割り切れる。

 

 

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