14の倍数判定法(14で割り切れる数の見分け方)

一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が7の倍数であり、一の位の数が偶数(0、2、4、6、8)であれば、その数は14で割り切れる。

 

なぜ14で割り切れるのか?

一億の位~百万の位の三桁がa、十万の位~千の位の三桁がb、百の位~一の位の三桁がcの整数mについて、
 m=1000000×a+1000×b+c
  =999999×a+1001×b+(a-b+c)
  =7×(142857×a+143×b)+{(a+c)-b}
(142857×a+143×b)は整数なので、7×(142857×a+143×b)は7の倍数。
mが7の倍数であるためには{(a+c)-b}が7の倍数であればよい。
つまり、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が7の倍数となる整数は7で割り切れる。
下三桁の数cについて、百の位をd、十の位をe、一の位をfとすると、
 m=1000000×a+1000×b+100×d+10×e+f
  =2×(500000×a+500×b+50×d+5×e)+f
(500000×a+500×b+50×d+5×e)は整数なので、2×(500000×a+500×b+50×d+5×e)は2の倍数。
mが2の倍数であるためにはbが2の倍数であればよい。
つまり、一の位が偶数(0、2、4、6、8)の整数は2で割り切れる。
mが14の倍数であるためには7の倍数かつ2の倍数であればよいので、 一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が7の倍数であり、一の位が偶数となる整数は14で割り切れる。

 

14で割り切れる数の一例

270177964の場合、
一の位から3桁ずつ区切ると、964、177、270に分けられる。
奇数番目の数の和は、270+964=1234
よって、奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差は、1234-177=1057。
奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差1057が7の倍数であり、一の位が偶数(0、2、4、6、8)なので、270177964は14で割り切れる。

 

 

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