17の倍数判定法(17で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の5倍と十の位以上の数との差が17の倍数であれば、その数は17で割り切れる。

 

なぜ17で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 5×m=50×a+5×b
    =51×a+(5×b-a)
    =17×(3×a)+(5×b-a)
(3×a)は整数なので、17×(3×a)は17の倍数。
5×mが17の倍数であるためには(5×b-a)が17の倍数であればよい。
5と17は互いに素であるから5×mが17の倍数であればmも17の倍数となる。
つまり、一の位の数の5倍と十の位以上の数の差が17の倍数となる整数は17で割り切れる。

 

17で割り切れる数の一例①

4318の場合、
一の位の数の5倍が8×5=40、十の位以上の数が431で、その差は391。
391は一の位の数の5倍が1×5=5、十の位以上の数が39で、その差は34。
一の位の数の5倍と十の位以上の数の差34が17の倍数なので391は17で割り切れる。
よって、4318は17で割り切れる。

 

17の倍数判定法(17で割り切れる数の見分け方)②

百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差が17の倍数であれば、その数は17で割り切れる。

 

なぜ17で割り切れるのか?②

百の位以上の数がa、下二桁の数がbの整数mについて、
 m=100×a+b
  =(102-2)×a+b
  =17×(6×a)+(b-2×a)
(6×a)は整数なので、17×(6×a)は17の倍数。
mが17の倍数であるためには(b-2×a)が17の倍数であればよい。
つまり、百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差が17の倍数となる整数は17で割り切れる。

 

17で割り切れる数の一例②

199155の場合、
百の位以上の数の2倍が55×2=3982、下二桁の数が55で、その差は3927。
3927はの百の位以上の数2倍が39×2=78で下二桁の数が27で、その差は51。
百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差51が17の倍数なので3927は17で割り切れる。
よって、199155は17で割り切れる。

 

 

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