17の倍数判定法(17で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の5倍と十の位以上の数との差が17の倍数であれば、その数は17で割り切れる。

 

なぜ17で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 5×m=50×a+5×b
    =51×a+(5×b-a)
    =17×(3×a)+(5×b-a)
(3×a)は整数なので、17×(3×a)は17の倍数。
5×mが17の倍数であるためには(5×b-a)が17の倍数であればよい。
5と17は互いに素であるから5×mが17の倍数であればmも17の倍数となる。
つまり、一の位の数の5倍と十の位以上の数の差が17の倍数となる整数は17で割り切れる。

 

17で割り切れる数の一例①

5355の場合、
一の位の数の5倍が5×5=25、十の位以上の数が535で、その差は510。
510は一の位の数の5倍が0×5=0、十の位以上の数が51で、その差は51。
一の位の数の5倍と十の位以上の数の差51が17の倍数なので510は17で割り切れる。
よって、5355は17で割り切れる。

 

17の倍数判定法(17で割り切れる数の見分け方)②

百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差が17の倍数であれば、その数は17で割り切れる。

 

なぜ17で割り切れるのか?②

百の位以上の数がa、下二桁の数がbの整数mについて、
 m=100×a+b
  =(102-2)×a+b
  =17×(6×a)+(b-2×a)
(6×a)は整数なので、17×(6×a)は17の倍数。
mが17の倍数であるためには(b-2×a)が17の倍数であればよい。
つまり、百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差が17の倍数となる整数は17で割り切れる。

 

17で割り切れる数の一例②

258740の場合、
百の位以上の数の2倍が40×2=5174、下二桁の数が40で、その差は5134。
5134はの百の位以上の数2倍が51×2=102で下二桁の数が34で、その差は68。
百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差68が17の倍数なので5134は17で割り切れる。
よって、258740は17で割り切れる。

 

 

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