17の倍数判定法(17で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の5倍と十の位以上の数との差が17の倍数であれば、その数は17で割り切れる。

 

なぜ17で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 5×m=50×a+5×b
    =51×a+(5×b-a)
    =17×(3×a)+(5×b-a)
(3×a)は整数なので、17×(3×a)は17の倍数。
5×mが17の倍数であるためには(5×b-a)が17の倍数であればよい。
5と17は互いに素であるから5×mが17の倍数であればmも17の倍数となる。
つまり、一の位の数の5倍と十の位以上の数の差が17の倍数となる整数は17で割り切れる。

 

17で割り切れる数の一例①

9503の場合、
一の位の数の5倍が3×5=15、十の位以上の数が950で、その差は935。
935は一の位の数の5倍が5×5=25、十の位以上の数が93で、その差は68。
一の位の数の5倍と十の位以上の数の差68が17の倍数なので935は17で割り切れる。
よって、9503は17で割り切れる。

 

17の倍数判定法(17で割り切れる数の見分け方)②

百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差が17の倍数であれば、その数は17で割り切れる。

 

なぜ17で割り切れるのか?②

百の位以上の数がa、下二桁の数がbの整数mについて、
 m=100×a+b
  =(102-2)×a+b
  =17×(6×a)+(b-2×a)
(6×a)は整数なので、17×(6×a)は17の倍数。
mが17の倍数であるためには(b-2×a)が17の倍数であればよい。
つまり、百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差が17の倍数となる整数は17で割り切れる。

 

17で割り切れる数の一例②

318971の場合、
百の位以上の数の2倍が71×2=6378、下二桁の数が71で、その差は6307。
6307はの百の位以上の数2倍が63×2=126で下二桁の数が7で、その差は119。
百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差119が17の倍数なので6307は17で割り切れる。
よって、318971は17で割り切れる。

 

 

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