37の倍数判定法(37で割り切れる数の見分け方)①

一の位の数の8倍と十の位以上の数との差が37の倍数であれば、その数は37で割り切れる。

 

なぜ37で割り切れるのか?①

十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
 m=10×a+b
 11×m=110×a+11×b
     =111×a+(11×b-a)
     =37×(3×a)+(11×b-a)
(3×a)は整数なので、37×(3×a)は37の倍数。
11×mが37の倍数であるためには(11×b-a)が37の倍数であればよい。
11と37は互いに素であるから11×mが37の倍数であればmも37の倍数となる。
つまり、一の位の数の11倍と十の位以上の数の差が37の倍数となる整数は37で割り切れる。

 

37で割り切れる数の一例①

74333の場合、
一の位の数の11倍が3×11=33、十の位以上の数が7433で、その差は7400。
7400は一の位の数の11倍が0×11=0、十の位以上の数が740で、その差は740。
一の位の数の11倍と十の位以上の数の差740が37の倍数なので7400は37で割り切れる。
よって、74333は37で割り切れる。

 

37の倍数判定法(37で割り切れる数の見分け方)②

一の位から順に3桁ずつに区切ったときの数の和が37の倍数であれば、その数は37で割り切れる。

 

なぜ37で割り切れるのか?②

一億の位~百万の位の三桁がa、十万の位~千の位の三桁がb、百の位~一の位の三桁がcの整数mについて、
 m=1000000×a+1000×b+c
  =999999×a+999×b+(a+b+c)
  =37×(27027×a+27×b)+(a+b+c)
(27027×a+27×b)は整数なので、37×(27027×a+27×b)は37の倍数。
mが37の倍数であるためには(a+b+c)が37の倍数であればよい。
つまり、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの数の和が37の倍数となる整数は37で割り切れる。

 

37で割り切れる数の一例②

989435093の場合、
一の位から3桁ずつ区切ると、093、435、989に分けられる。
3つの数の和は、989+435+93=1517
1517は、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの数の和が517+1=518で37の倍数なので37で割り切れる。
よって、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの数の和1517が37の倍数なので989435093は37で割り切れる。

 

 

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