19の倍数判定法（19で割り切れる数の見分け方）①
一の位の数の2倍と十の位以上の数との和が19の倍数であれば、その数は19で割り切れる。
なぜ19で割り切れるのか？①
十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
m＝10×a＋b
2×m＝20×a＋2×b＝19×a＋(a＋2×b)
aは整数なので、19×aは19の倍数。
2×mが19の倍数であるためには(a＋2×b)が19の倍数であればよい。
2と19は互いに素であるから2×mが19の倍数であればmも19の倍数となる。
つまり、一の位の数の2倍と十の位以上の数の和が19の倍数となる整数は19で割り切れる。
19で割り切れる数の一例①
5035の場合、
一の位の数の2倍が5×2＝10、十の位以上の数が503で、その和は513。
513は一の位の数の2倍が3×2＝6、十の位以上の数が51で、その和は57。
一の位の数の2倍と十の位以上の数の和57が19の倍数なので513は19で割り切れる。
よって、5035は19で割り切れる。
19の倍数判定法（19で割り切れる数の見分け方）②
各位の数に上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が19の倍数であれば、その数は19で割り切れる。
なぜ19で割り切れるのか？②
千の位の数がa、百の位の数がb、十の位の数がc、一の位の数がdの整数mについて、
m＝1000×a＋100×b＋10×c＋d
23×m＝23×103×a＋23×102×b＋23×10×c＋23×d
＝203×a＋202×2×b＋20×22×c＋23×d
＝(19＋1)3×a＋(19＋1)2×2×b＋(19＋1)×22×c＋23×d
＝19×{(192＋3×19＋3)×a＋(19＋2)×2×b＋22×c}
＋{a＋2×b＋22×c＋23×d}
{(192＋3×19＋3)×a＋(19＋2)×2×b＋22×c}は整数なので19×{(192＋3×19＋3)×a＋(19＋2)×2×b＋22×c}は19の倍数。
23×mが19の倍数であるためには{a＋2×b＋22×c＋23×d}が19の倍数であればよい。
2と19は互いに素であるから23×mが19の倍数であればmも19の倍数となる。
つまり、各位の数に上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が19の倍数となる整数は19で割り切れる。
19で割り切れる数の一例②
282905269の場合、
上の位から順に2のべき乗をかけた数の和は、
2＋2×8＋22×2＋23×9＋24×0＋25×5＋26×2＋27×6＋28×9＝3458
3458は、上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が
3＋2×4＋22×5＋23×8＝95なので19の倍数。
よって、上の位から順に2のべき乗をかけた数の和3458が19の倍数なので、
282905269は19で割り切れる。
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