19の倍数判定法（19で割り切れる数の見分け方）①
一の位の数の2倍と十の位以上の数との和が19の倍数であれば、その数は19で割り切れる。
なぜ19で割り切れるのか？①
十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
m＝10×a＋b
2×m＝20×a＋2×b＝19×a＋(a＋2×b)
aは整数なので、19×aは19の倍数。
2×mが19の倍数であるためには(a＋2×b)が19の倍数であればよい。
2と19は互いに素であるから2×mが19の倍数であればmも19の倍数となる。
つまり、一の位の数の2倍と十の位以上の数の和が19の倍数となる整数は19で割り切れる。
19で割り切れる数の一例①
1159の場合、
一の位の数の2倍が9×2＝18、十の位以上の数が115で、その和は133。
133は一の位の数の2倍が3×2＝6、十の位以上の数が13で、その和は19。
一の位の数の2倍と十の位以上の数の和19が19の倍数なので133は19で割り切れる。
よって、1159は19で割り切れる。
19の倍数判定法（19で割り切れる数の見分け方）②
各位の数に上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が19の倍数であれば、その数は19で割り切れる。
なぜ19で割り切れるのか？②
千の位の数がa、百の位の数がb、十の位の数がc、一の位の数がdの整数mについて、
m＝1000×a＋100×b＋10×c＋d
23×m＝23×103×a＋23×102×b＋23×10×c＋23×d
＝203×a＋202×2×b＋20×22×c＋23×d
＝(19＋1)3×a＋(19＋1)2×2×b＋(19＋1)×22×c＋23×d
＝19×{(192＋3×19＋3)×a＋(19＋2)×2×b＋22×c}
＋{a＋2×b＋22×c＋23×d}
{(192＋3×19＋3)×a＋(19＋2)×2×b＋22×c}は整数なので19×{(192＋3×19＋3)×a＋(19＋2)×2×b＋22×c}は19の倍数。
23×mが19の倍数であるためには{a＋2×b＋22×c＋23×d}が19の倍数であればよい。
2と19は互いに素であるから23×mが19の倍数であればmも19の倍数となる。
つまり、各位の数に上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が19の倍数となる整数は19で割り切れる。
19で割り切れる数の一例②
444165527の場合、
上の位から順に2のべき乗をかけた数の和は、
4＋2×4＋22×4＋23×1＋24×6＋25×5＋26×5＋27×2＋28×7＝2660
2660は、上の位から順に2のべき乗をかけた数の和が
2＋2×6＋22×6＋23×0＝38なので19の倍数。
よって、上の位から順に2のべき乗をかけた数の和2660が19の倍数なので、
444165527は19で割り切れる。
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