13の倍数判定法（13で割り切れる数の見分け方）①
一の位の数の4倍と十の位以上の数との和が13の倍数であれば、その数は13で割り切れる。
なぜ13で割り切れるのか？①
十の位以上の数がa、一の位の数がbの整数mについて、
m＝10×a＋b
4×m＝40×a＋4×b＝39×a＋(a＋4×b)＝13×(3×a)＋(a＋4×b)
(3×a)は整数なので、13×(3×a)は13の倍数。
4×mが13の倍数であるためには(a＋4×b)が13の倍数であればよい。
4と13は互いに素であるから4×mが13の倍数であればmも13の倍数となる。
つまり、一の位の数の4倍と十の位以上の数の和が13の倍数となる整数は13で割り切れる。
13で割り切れる数の一例①
5408の場合、
一の位の数の4倍が8×4＝32、十の位以上の数が540で、その和は572。
572は一の位の数の4倍が2×4＝8、十の位以上の数が57で、その和は65。
一の位の数の4倍と十の位以上の数の和65が13の倍数なので572は13で割り切れる。
よって、5408は13で割り切れる。
13の倍数判定法（13で割り切れる数の見分け方）②
下二桁の数の3倍と百の位以上の数の和が13の倍数であれば、その数は13で割り切れる。
なぜ13で割り切れるのか？②
百の位以上の数がa、下二桁の数がbの整数mについて、
m＝100×a＋b
3×m＝300×a＋3×b＝299×a＋(a+3×b)＝13×(23×a)＋(a+3×b)
(23×a)は整数なので、13×(23×a)は13の倍数。
3×mが13の倍数であるためには(a＋3×b)が13の倍数であればよい。
3と13は互いに素であるから3×mが13の倍数であればmも13の倍数となる。
つまり、下二桁の数の3倍と百の位以上の数の和が13の倍数となる整数は13で割り切れる。
13で割り切れる数の一例②
697697の場合、
下二桁の数の3倍が97×3＝291、百の位以上の数が6976で、その和は7267。
7267は下二桁の数の3倍が67×3＝201で百の位以上の数が72で、その和は273。
下二桁の数の3倍と百の位以上の数の差273が13の倍数なので7267は13で割り切れる。
よって、697697は13で割り切れる。
13の倍数判定法（13で割り切れる数の見分け方）③
一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が13の倍数であれば、その数は13で割り切れる。
なぜ13で割り切れるのか？③
一億の位～百万の位の三桁がa、十万の位～千の位の三桁がb、百の位～一の位の三桁がcの整数mについて、
m＝1000000×a＋1000×b＋c
＝999999×a＋1001×b＋(a－b＋c)
＝13×(76923×a＋77×b)＋{(a＋c)－b}
(76923×a＋77×b)は整数なので、13×(76923×a＋77×b)は13の倍数。
mが13の倍数であるためには{(a＋c)－b}が13の倍数であればよい。
つまり、一の位から順に3桁ずつに区切ったときの奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が13の倍数となる整数は13で割り切れる。
13で割り切れる数の一例③
908537864の場合、
一の位から3桁ずつ区切ると、864、537、908に分けられる。
奇数番目の数の和は、908＋864＝1772
よって、奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差は、1772－537＝1235。
奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差1235が13の倍数なので、908537864は13で割り切れる。
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